Proposition - Invertierbarkeit von n x n Matrizen

• Referenz: } Mathematische Grundlagen KE1 - Rechenregeln der Matrizenmultiplikation

Proposition: Invertierbarkeit von Matrizen

Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

• ist invertierbar.

• Die TNF zu ist

• Der Rang von ist ( hat also vollen Rang.)

• ist ein Produkt von Elementarmatrizen

• (nicht aus Mathegrundlagen, siehe Lemma - Matrix ist invertierbar gdw Determinante ist ungleich Null)

• Alle Spaltenvektoren von sind linear unabhängig.¹

• Alle Zeilenvektoren von sind linear unabhängig.¹

• .¹

• .¹

Das heißt: die Inverse Matrix können wir berechnen, indem wir die Transformationsmatrix des Gaußalgorithmus der TNF zu berechnen.

Beweis

Da es sich hier um einen Äquivalenzbeweis mit vier Teilen handelt, führen wir einen Ringbeweis:

ist invertierbar Die TNF zu ist

Sei eine invertierbare Matrix. Dann gibt es ein inverses Element mit

Sei die TNF zu . Dann gibt es Elementarmatrizen , sodass .

Da lediglich aus Elementarmatrizen besteht, ist durch invertierbar.

Es gilt also .

Es gilt daher: , wir schreiben , also

Da und Matrizen in Treppennormalform sind, gilt nach dem Satz 4.4.2, dass

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Die TNF zu ist Der Rang von ist

Sei , so gilt mit So gibt es ausgezeichnete Indizes mit , und damit auch Pivot-Positionen .

Da gilt

---

Der Rang von ist ist ein Produkt von Elementarmatrizen

Sei eine Matrix mit . Sei die TNF zu , so gilt für : und für . Das ist genau die Definition der Einheitsmatrix , das heißt .

Da die TNF zu ist, gilt und daher , das heißt, es gibt

• Elementarmatrizen , so dass
• und es gibt Elementarmatrizen , sodass

Das heißt, ist ein Produkt der Elementarmatrizen .

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ist ein Produkt von Elementarmatrizen ist invertierbar

Sei ein Produkt von Elementarmatrizen . Da jede Elementarmatrize durch Elementare Zeilenumformungen der Einheitsmatrix entsteht und diese invertierbar sind, gilt auch, dass invertierbar ist.

Footnotes

1. @riedel2023 ↩ ↩² ↩³ ↩⁴