Definition - Gaußalgorithmus

• Konstrukte:
  • Transformationsmatrix des Gaußalgorithmus
• Eigenschaften:
  • Existenz von Treppennormalformen
• Referenz:
  • } Mathematische Grundlagen KE2 - Gaußalgorithmus und Transformationsmatrix
  • Mathegrundlagen

Definition: Gaußalgorithmus (genauer: Gauß-Jordan)

• Sei .
• Die ersten Spalten sind bereits in Treppennormalform (wobei auch sein darf).
• Es gibt Pivot-Positionen ( darf auch sein)

Dann unterscheiden wir drei Fälle

1. Die ersten Spalten sind bereits in Treppennormalform

2. Nächstmögliche Pivot-Position ist ungleich Multipliziere die r-te Zeile mit und addiere für alle das -fache der -ten Zeile zur -ten Zeile

3. Nächster Pivot ist , aber darunter sind Einträge Vertausche -te und -te Zeile. Goto: Fall 2

Anmerkung

Der Gaußalgorithmus beschreibt einen systematischen Weg, um Matrizen in Treppennormalform zu überführen.

Er liefert uns eine Strategie, um

• jede beliebige Matrix
• durch Elementare Zeilenumformungen
• in Treppennormalform zu überführen

Der Gaußalgorithmus ist zwar nach Gauß benannt, dieser hat ihn aber weder erfunden noch erstmalig bewiesen. Er hat ihn lediglich sehr häufig in seinen Arbeiten genutzt und somit populär gemacht.

Der Gaußalgorithmus ist recht technisch. Einige Beispielaufgaben (+ Lösungen) zeigen wir in dem Abschnitt Beispiele.

Was passiert im zentralen 2. Schritt?

Nun, wir haben

• wir multiplizieren die Zeile in der liegt mit seinem inversen Element

• , ergo erhalten wir die Pivot-Position.

• Von allen anderen Einträge der Spalte führen wir aus. Das heißt:

  • wir machen aus jedem anderen Eintrag eine Nullstelle.