Algorithmus - Ermitteln der Matrixdarstellung einer linearen Abbildung

• Involvierte Definitionen:
  • Definition - Matrixdarstellung einer linearen Abbildung
  • Koordinatenvektor
• Referenz:
  • Kapitel 9.1 - Der Vektorraum
  • Mathegrundlagen

Algorithmus: Ermitteln der Matrixdarstellung einer linearen Abbildung

Sei eine lineare Abbildung. Seien zwei Vektorräume. Sei eine Basis von . Sei eine Basis von .

Um die Matrixdarstellung von herauszufinden, müssen wir die Koordinatenvektoren von berechnen. Dazu können wir wie folgt vorgehen

1. Wir nehmen uns ein
2. Wir wenden auf dieses an und ermitteln das zugehörige
3. Wir stellen als Linearkombination von dar

• Wird es kompliziert, nutzen wir den Gaußalgorithmus, um zu ermitteln

1. Die Koeffizienten der Linearkombination ergeben dann den Koordinatenvektor.

Das machen wir für alle Die Ergebnisse schreiben wir Spaltenweise in eine Matrix und sind fertig

Beispiel

Hier ein etwas kompliziertes Beispiel aus dem Skript:

Sei definiert durch

Seien

Wir richten uns jetzt nach dem Algorithmus, berechnen erst die jeweiligen Koordinatenvektoren und fügen sie dann zur Matrixdarstellung zusammen.

Koordinatenvektoren des ersten Basisvektors

1. Sei
2. Dann wenden wir an, also
3. Wir stellen als Linearkombination von dar. Dabei handelt es sich um eine Lösung des LGS . Wir nutzen den Algorithmus zur Berechnung einer Lösung eines LGS und erhalten
4. Der erste Koordinatenvektor ist also

Koordinatenvektoren des zweiten Basisvektors

1. Sei
2. Dann wenden wir an, also
3. Wir stellen als Linearkombination von dar. Dabei handelt es sich um eine Lösung des LGS . Wir nutzen den Algorithmus zur Berechnung einer Lösung eines LGS und erhalten
4. Der zweite Koordinatenvektor ist also

Koordinatenvektoren des dritten Basisvektors

1. Sei
2. Dann wenden wir an, also
3. Wir stellen als Linearkombination von dar. Dabei handelt es sich um eine Lösung des LGS . Wir nutzen den Algorithmus zur Berechnung einer Lösung eines LGS und erhalten
4. Der dritte Koordinatenvektor ist also

Matrixdarstellung

Wir haben nun die drei Koordinatenvektoren der Basis berechnet. Abschließend müssen wir sie nur noch Spaltenweise in eine Matrix schreiben und erhalten als Ergebnis: