Definition - Matrixdarstellung einer linearen Abbildung

• Beispiele:
  • Matrixdarstellung als LGS: Korollar - Kern(f) ist isomorph zu der Lösungsmenge des homogenen LGS
• Konstrukte:
  • Matrixabbildung
• Eigenschaften:
  • Theorem - Die Matrixdarstellungs-Abbildung ist isomorph
  • Zusammenhang zwischen Matrixdarstellung und Koordinatenabbildung
  • Korollar - Rg(f)=Rg(cMb(f))
  • Proposition - Lineare Abbildung ist bijektiv gdw Determinante der Abbildungsmatrix ist ungleich Null
• Hinreichende Aussagen:
  • Ermitteln der Matrixdarstellung einer linearen Abbildung
• Involvierte Definitionen:
  • Definition - Vektorraum der linearen Abbildungen
  • Koordinatenvektor
  • Matrix
• Referenz:
  • Kapitel 9.1 - Der Vektorraum
  • Mathegrundlagen

Definition: Matrixdarstellung einer linearen Abbildung

Seien und endlich erzeugte -Vektorräume.
Sei eine Basis von .
Sei eine Basis von .

Zu jeder linearen Abbildung können wir eine -Matrix finden, sodass

Wir nennen sie auch die Matrixdarstellung von bezüglich und .

Die Spalten von sind die Koordinatenvektoren , also:

Es gilt:

erhalten wir dann, indem wir berechnen.

Bemerkung 9.1.5: als Abbildung

Die hier eingeführte Matrixdarstellung definiert darüber hinaus auch folgende Abbildung

Sie ordnet jeder linearen Abbildung die Matrixdarstellung von bezüglich der Basen und zu.

Anmerkung

Abweichende Schreibweise

In der Literature ist auch die Schreibweise

gebräuchlich.

Maße von

Nach Definition ist eine -Matrix.

Es gilt: und .

Matrixdarstellung als Vektorsumme

Das hatte ich mal aufgestellt, vielleicht ist es irgendwann mal nützlich: