Korollar - Rg(f)=Rg(cMb(f))

• Involvierte Definitionen:
  • Rang einer Matrix
  • Rang einer linearen Abbildung
  • Definition - Matrixdarstellung einer linearen Abbildung
  • Lineare Abbildung
• Referenz:
  • Kapitel 9.2 - Koordinatenvektor und Matrixdarstellungen
  • Mathegrundlagen

Korollar: Zusammenhang zwischen Rang einer Matrix und ihrer linearen Abbildung

Sei eine lineare Abbildung. Seien und endlich erzeugte Vektorräume. Sei eine Basis von . Sei eine Basis von .

Dann gilt

Beweis

Sei und . Es gilt, dass eine Matrix ist.

Nach dem Rangsatz gilt

Durch Korollar 9.2.3 wissen wir, dass .

Durch Proposition 5.2.17 wissen wir, dass wobei (als reminder) .

Wir stellen clever um und erhalten

Also haben wir bis jetzt:

also was zu zeigen war.