Korollar - Zeilenrang und Spaltenrang sind gleich

• Bewiesen durch:
  • Proposition 8.3.4
  • Korollar 9.2.4
• Involvierte Definitionen:
  • Dimension
  • Matrix
  • Rang einer linearen Abbildung
  • Zeilenrang einer Matrix
  • Spaltenrang einer Matrix
  • Matrixdarstellung einer linearen Abbildung
  • Standardbasis von K hoch n
• Referenz:
  • Kapitel 9.2 - Koordinatenvektor und Matrixdarstellungen
  • Mathegrundlagen

Korollar: Zeilenrang und Spaltenrang sind gleich

Sei Seien die Spalten von .

Dann gilt .

Das heißt, der Rang von ist gleich der Dimension des von seinen Spalten aufgespannten Vektorraums.

Beweis

Sei die Standardbasis von . Sei die Standardbasis von . Sei definiert durch . Seien die Spaltenvektoren von .

Da wir für und die Standardbasen gewählt haben, gilt:

Vergleichen wir mit der Funktionsvorschrift von , fällt auf, dass mit Gleichung auch

gelten muss.

Mit Korollar 9.2.4 gilt weiter, dass

Nach Definition 8.3.12 ist

Kombinieren wir die Gleichungen erhalten wir also bereits: .

Mit Proposition 8.3.4 folgt für , dass durch jede Basis von erzeugt wird. Wählen wir an dieser Stelle die Standardbasis gilt also:

Multiplizieren wir mit den Standardbasisvektoren von , also:

so erhalten wir jeweils die entsprechende Spalten von , also und so weiter. Nach Funktionsvorschrift von gilt also:

Kombinieren wir nun die Gleichungen , so erhalten wir:

Und das ist genau, was zu zeigen war.