Proposition - Basis von V erzeugt das Bild einer linearen Abbildung

• Involvierte Definitionen:
  • Das Bild einer linearen Abbildung
  • Erzeugendensystem
  • Lineare Abbildung
  • Basis
• Referenz:
  • } Mathematische Grundlagen KE3 - Bild und Kern
  • Mathegrundlagen

Proposition: Basis von erzeugt Bild von

Sei ein endlich erzeugter -Vektorraum Sei eine lineare Abbildung. Sei eine Basis von .

• Dann ist ein Erzeugendensystem von
• (und ist damit endlich erzeugt).

Beweis

Sei . Dann gibt es ein , so dass . Da gilt .

Es gibt also Koeffizienten, so dass

Das heißt: . Damit ist ein Erzeugendensystem von , was zu zeigen war.