Korollar - Lineare Abbildung ist surjektiv iff Basis ist Erzeugendensystem der Zielmenge

• Bewiesen durch:
  • Proposition 8.3.4
• Involvierte Definitionen:
  • Lineare Abbildung
  • Das Bild einer linearen Abbildung
  • Surjektivität
  • Basis
  • Erzeugendensystem
• Referenz:
  • Mathegrundlagen

Korollar 8.3.5: Wie man Surjektivität einer linearen Abbildung zeigen kann

Sei ein endlich erzeugter -Vektorraum. Sei eine lineare Abbildung. Sei eine Basis von .

Es sind äquivalent:

Also: ist surjektiv, genau dann, wenn, ein Erzeugendensystem von ist

Beweis

Sei surjektiv.

Nach Proposition 8.3.4 ist .

Da surjektiv ist, gilt , was zu zeigen war.

Sei .

Nach der Proposition 8.3.4 ist .

Es gilt:

Jedes Element der Zielmenge liegt damit im Bild von , hat also ein Urbild in - und das ist genau, was zu zeigen war.

Schluss

Da beide Richtungen halten, gilt