Korollar - Lineare Abbildung ist bijektiv iff f(v1), ..., f(v2) ist Basis von W

• Bewiesen durch:
  • Korollar 8.3.18 a)
  • Korollar 8.3.18 b)
• Involvierte Definitionen:
  • Lineare Abbildung
  • Das Bild einer linearen Abbildung
  • Basis
• Referenz:
  • Mathegrundlagen
  • } Mathematische Grundlagen KE3 - Der Rangsatz

Korollar 8.3.18: Bijektiv durch Basis von W

Sei ein endlich erzeugter Vektorraum. Sei eine lineare Abbildung. Sei eine Basis von .

Dann gilt

Beweis

1. ist injektiv, wenn eine Basis von ist, denn dann muss auch Kern(f) der Nullvektorraum sein und dann muss wiederum f injektiv sein (siehe Korollar 8.3.18 a))
2. ist surjektiv, wenn (siehe Korollar 8.3.18 b))

Also: bijektiv eine Basis von ist