Korollar - Dimensionsformel für Homomorphismenräume

• Bewiesen durch:
  • Theorem - Die Matrixdarstellungs-Abbildung ist isomorph
  • Korollar 8.3.18 c)
  • Korollar 7.3.6
• Involvierte Definitionen:
  • Homomorphismenraum von V nach W
  • Dimension
  • Homomorphismus
  • Definition - Matrixdarstellung einer linearen Abbildung
• Referenz:
  • Kapitel 9.1 - Der Vektorraum
  • Mathegrundlagen

Korollar: Dimensionsformel für Homomorphismenräume

Wenn und endlich erzeugte -Vektorräume sind, so gilt

Beweis

Die Matrixdarstellung einer linearen Abbildung erzeugt eine Abbildung

Nach dem Theorem - Die Matrixdarstellungs-Abbildung ist isomorph gilt, dass diese Abbildung Isomorph ist.

Sei eine Basis von .

Da isomorph und damit auch bijektiv ist, gilt mit Korollar 8.3.18 c), dass eine Basis von ist.

Es gilt also, dass .

ist wiederum die Matrix, deren Spalten die Koordinatenvektoren sind. Also:

Und für diese Koordinatenvektoren gilt, dass Also

Sei die Standardbasis der m x n Matrizen. Dann gilt

Da alle Basen dieselbe Mächtigkeit haben, gilt

was zu zeigen war.