Theorem - Die Matrixdarstellungs-Abbildung ist isomorph

• Bewiesen durch:
  • Beschreibung linearer Abbildungen durch die Bilder einer Basis
• Involvierte Definitionen:
  • Matrixdarstellung einer linearen Abbildung
  • Koordinatenvektor
  • Isomorphismus
  • Definition - Vektorraum der linearen Abbildungen
• Referenz:
  • Kapitel 9.1 - Der Vektorraum
  • Mathegrundlagen

Theorem: ist isomorph

Seien und endlich erzeugte -Vektorräume. Sei eine Basis von Sei eine Basis von .

Dann ist die Abbildung

ein Isomorphismus

Beweis

Um zu beweisen, dass ein Isomorphismus ist, müssen wir zeigen, dass

1. eine lineare Abbildung ist und
2. zeigen, dass eine bijektive Abbildung ist.

1. ist eine lineare Abbildung

Seien und . Es ist zu zeigen, dass

Sei und sei .

Der Kerngedanke des Beweises ist, dass wir (wobei ja ) auch ausdrücken können als

Das gilt, weil ja nach Definition 9.1.4, die -te Spalte von , also , dem Koordinatenvektor entspricht. Projizieren wir diesen, wie in Gleichung gezeigt, zurück nach , so erhalten wir als Ergebnis.

1.1 Addition ist linear

Mit den Erkenntnissen aus Gleichung gilt:

Das heißt, dass , denn die Spaltenvektoren, die durch erzeugt werden, werden einfach zusammenaddiert.

1.2 Skalarmultiplikation ist linear

Mit den Erkenntnissen aus Gleichung gilt:

Das heißt, dass , denn die Spaltenvektoren, die durch erzeugt werden, werden einfach mit multipliziert.

1.3 Schluss

Da sowohl Addition als auch Skalarmultiplikation von linear sind, ist linear.

2. ist bijektiv

Hierzu wollen wir zeigen, dass eine zu inverse Funktion existiert.

Sei dazu , wobei . Seien und respektive die Basen von und .

Dann definiert

mit eindeutig die lineare Abbildung . Jeder Matrix können wir also eine solche lineare Abbildung zuordnen.

2.1 Besondere Eigenschaften von

Tipp: Konkret durchrechnen, um es zu verstehen

Die beiden nun folgenden Eigenschaften lassen sich am besten verstehen, wenn man sie einmal konkret durchrechnet. Beispielsweise mit:

• den Vektorräumen , ,
• den Basen und ,
• der linearen Abbildung mit ,
• der Matrixdarstellung

Die Abbildung hat darüber hinaus noch zwei weitere Vorzüge.

Einerseits gilt für sie:

Das folgt direkt aus der Konstruktion von (siehe Gleichung ), denn in der Konstruktion von wird berechnet als . Wollen wir hiervon den Koordinatenvektor berechnen (den wir für die Konstruktion von benötigen), erhalten wir diesen schon direkt als und das wiederum ist die -te Spalte von .

Das heißt im Umkehrschluss (Trommelwirbel), dass die -te Spalte von gleich der -ten Spalte der Matrixdarstellung ist.

Da (nach Voraussetzung) genau so viele Spalten hat, wie die Basis Vektoren, folgt, dass beide Matrizen und gleich viele Spalten haben müssen. Damit gilt Gleichung .

Andererseits gilt für sie:

Das liegt daran, dass:

Denn:

• die aus Gleichung entsprechen und
• die liegen in der -ten Spalte von und entsprechen damit , vgl. Konstruktion von in Definition 9.1.4.
• Der Ausdruck ist als Matrix-Vektor-Produkt zu verstehen. Dieses Produkt projiziert den Koordinatenvektor zurück nach .

2.2 Die zu inverse Funktion

Entsprechend definieren wir uns jetzt eine Abbildung

Dann muss gelten:

1. Zu zeigen: . Sei . Dann gilt mit Gleichung : .

2. Zu zeigen: . Sei umgekehrt . Dann gilt mit Gleichung :

Das heißt, ist invertierbar und daher auch bijektiv.

3. Schluss

Da linear und bijektiv ist, ist auch isomorph, was zu zeigen war.