Korollar - Alle Basen haben dieselbe Mächtigkeit

• Bewiesen durch:
  • Austauschsatz von Steinitz
• Referenz:
  • } Mathematische Grundlagen KE3 - Austauschsatz von Steinitz
  • Mathegrundlagen

Korollar: Basen haben die selbe Mächtigkeit

Je zwei Basen eines endlich erzeugten Vektorraums haben die gleiche Anzahl von Vektoren.

Beweis

Seien und zwei Basen von .

• Dann sind linear unabhängige Vektoren. Da eine Basis ist, gilt nach dem Austauschsatz .
• Auch bei handelt es sich um linear unabhängige Vektoren. Da eine Basis ist, gilt nach dem Austauschsatz .

Da also und muss gelten .