Theorem - Der Austauschsatz von Steinitz

• Bewiesen durch: Das Austauschlemma
• Referenz:
  • Mathegrundlagen
  • } Mathematische Grundlagen KE3 - Austauschsatz von Steinitz

Theorem: Austauschsatz von Steinitz

• Sei eine Basis eines endlich erzeugten Vektorraums .
• Seien linear unabhängige Vektoren in .

Dann gelten zwei Dinge.

2. Es gibt Vektoren der Basis , so dass eine Basis von ist.

Beweis

Wir führen den Beweis mit Induktion nach .

Induktionsanfang Sei , also haben wir genau einen unabhängigen Vektor .

Es muss gelten, dass , denn der Nullvektor ist linear abhängig. Mit dem Austauschlemma folgt der Rest der Behauptung.

Induktionsvoraussetzung Wir nehmen an, dass die Aussage des Satzes für linear unabhängige Vektoren gilt, mit .

Induktionsschritt Es ist zu zeigen, dass der Satz für linear unabhängige Vektoren gilt.

Seien dazu linear unabhängig. Dann sind auch linear unabhängig.

Nach Induktionsvoraussetzung gibt es also Vektoren , sodass

eine Basis von ist.

Es bleibt zu zeigen, dass auch eine Basis von ist.

Da eine Basis von ist, können wir auch schreiben als

Da linear unabhängig von ist, muss sogar gelten:

Nach dem Austauschlemma dürfen wir diejenigen Vektoren einer Basis austauschen, deren Koeffizienten in einer Linearkombination des auszutauschenden Vektors ungleich null sind.

Da gibt es mindestens einen solchen Vektor in der Linearkombination . Wir benennen die Vektoren nun so um, dass dieser Vektor mit Koeffizienten ungleich ist.

Daher sind, nach Austauschlemma, auch die Vektoren eine Basis von .