Korollar - Der Basisergänzungssatz

• Bewiesen durch: Austauschsatz von Steinitz
• Referenz:
  • Mathegrundlagen
  • } Mathematische Grundlagen KE3 - Austauschsatz von Steinitz

Korollar: Basisergänzungssatz

Sei ein endlich erzeugter Vektorraum und seien linear unabhängige Vektoren in .

Dann lässt sich zu einer Basis von ergänzen. Das bedeutet, es gibt Vektoren , so dass eine Basis von ist.

Beweis

Sei ein endlich erzeugter Vektorraum und seien linear unabhängige Vektoren in .

Dann hat jede Menge linear unabhängiger Vektoren in maximal Elemente (siehe Korollar 7.3.4). Ist sind wir bereits fertig und ist eine Basis von .

Ist , dann gibt es Vektoren , so dass linear unabhängig sind und eine Basis bilden.

(Merke: Der Beweis im Skript ist anders, dieser Beweis ist von mir)