Korollar - V ist endlich erzeugt iff jede Menge linear unabhängiger Elemente aus V hat höchstens n Elemente

• Bewiesen durch:
  • Proposition 7.2.8 b)
• Referenz:
  • Mathegrundlagen
  • } Mathematische Grundlagen KE3 - Austauschsatz von Steinitz

Korollar: Charakterisierung endlich erzeugter Vektorräume

Die folgenden zwei Aussagen sind äquivalent:

1. Ein -Vektorraum ist endlich erzeugt
2. Es gibt ein , so dass jede Menge von linear unabhängigen Elementen aus ==höchstens Elemente besitzt.==

Beweis

Sei ein endlich erzeugter Vektorraum über . Dann gibt es ein Erzeugendensystem , das aus endlich vielen Vektoren besteht.

Nach Proposition 7.2.8 b) können wir Vektoren aus wählen, so dass eine Basis von ist.

Sei die Anzahl der Elemente der Basis. Nach dem Austauschsatz von Steinitz gilt für jede Menge linear unabhängiger Vektoren , dass .

Sei nun ein Vektorraum, in dem jede Menge von linear unabhängigen Vektoren höchstens Elemente besitzt.

Sei so, dass eine linear unabhängig sind.

• Bilden bereits eine Basis sind wir fertig (denn dann ist endlich erzeugt)
• Wenn diese Vektoren keine Basis bilden, gibt es einen Vektor , so dass . Es folgt, dass auch linear unabhängig sind.
  • Bilden die Vektoren bereits eine Basis sind wir fertig.
  • Sonst iterieren wir das Verfahren. Da jede Menge linear unabhängiger Vektoren höchstens -Elemente besitzt, muss dieser Algorithmus irgendwann terminieren. In diesem Fall haben wir auch eine Basis gefunden.