Proposition - Erzeugendensysteme enthalten Basen

• Bewiesen durch: Erzeugendensysteme können verkleinert werden
• Referenz:
  • Mathegrundlagen
  • } Mathematische Grundlagen KE3 - Basen endlich erzeugter Vektorräume

Proposition: Erzeugendensysteme enthalten Basen

Sei ein -Vektorraum mit und seien .

Wenn ein Erzeugendensystem von ist,

können wir Vektoren so wählen, dass sie eine Basis von sind.

Anmerkung

Das in sagt aus, dass es sich um eine von mehreren Möglichkeiten handelt, Vektoren aus zu wählen.

Beweis

Sei ein -Vektorraum mit und seien ein Erzeugendensystem von .

Dann ist bereits die erste Bedingung dafür, dass eine Basis von ist, erfüllt. ()

Es ist nun noch zu zeigen, dass linear unabhängig sind. Das ist jedoch nicht gegeben.

Ist linear abhängig, so gibt es Vektoren für die gilt, dass mit ,

Aufgrund der Proposition 7.2.8 a) gilt jedoch:

Dann gibt es also Vektoren , die

1. ein Erzeugendensystem von sind und
2. linear Unabhängig sind.

Daher ist also eine Basis von .