Proposition - Erzeugendensysteme können verkleinert werden

• Referenz:
  • Mathegrundlagen
  • } Mathematische Grundlagen KE3 - Basen endlich erzeugter Vektorräume

Proposition: Proxy für das Ermitteln eines Erzeugendensystems

Sei ein -Vektorraum mit und seien

Dann ist ein Erzeugendensystem von , wenn

1. ein Erzeugendensystem von ist und
2. wenn

(also wenn ein Erzeugendensystem und linear unabhängig von ist.)

Beweis

Sei ein -Vektorraum mit und seien .

Sei und . Dann sind die Vektoren linear abhängig.

Es ist zu zeigen, dass

Da , lässt sich auch schreiben als

Es gilt also

was zu zeigen war.