Proposition - Dimensionsformel für Summe und Durchschnitt

• Bewiesen durch:
  • Durchschnitt von Unterräumen ist ein Unterraum
  • Basisergänzungssatz
  • Proposition 7.2.8 b)
• Referenz:
  • Mathegrundlagen
  • } Mathematische Grundlagen KE3 - Dimensionen

Proposition: Dimensionsformel für Summe und Durchschnitt

Sei ein -Vektorraum und seien endlichdimensionale Unterräume von . Dann gilt:

Beweis

Beweisoption 1 (Skript, leicht gekürzt)

Sei eine Basis von mit Kardinalität . Da ein Unterraum von und ist, können wir aufgrund des Basisergänzungssatzes zu einer Basis sowohl von als auch von ergänzen.

Dann gibt es also Vektoren , und , so dass:

1. eine Basis von ist
2. eine Basis von ist und
3. eine Basis von ist

Es folgt, dass

Was zu zeigen war.

Beweisoption 2

Sei ein -Vektorraum und seien endlichdimensionale Unterräume von .

Dann besteht aus folgenden Mengen:

Stellt sich die Frage, welchen Einfluss auf die Dimension von hat.

Wir stellen erst einmal fest, dass es sich bei den Vektoren der Menge um Linearkombination (mit Koeffizient ) von Vektoren aus und handelt.

Sei eine Basis von und eine Basis von .

Sei die Vereinigung der beiden Basen. Dann enthält alle drei Teilmengen von . Also: und ist damit ein Erzeugendensystem von .

Dank Proposition 7.2.8 b) können wir nun solange linear abhängige Vektoren aus entfernen, bis wir eine Basis von erhalten.

Welche Vektoren in sind linear abhängig? Nun, es gilt ja Da und selbst bereits Basen sind, enthalten sie (in sich) keine voneinander linear abhängigen Vektoren.

Es handelt sich also um genau die Vektoren , für die gilt: beziehungsweise .

Eine Basis von erhalten wir also wie folgt:

und es folgt:

was zu zeigen war.