Proposition - Hinreichendes Basenkriterium per Dimension

• Bewiesen durch:
  • Erzeugendensysteme enthalten Basen
  • Basisergänzungssatz
• Referenz:
  • Mathegrundlagen
  • } Mathematische Grundlagen KE3 - Dimensionen

Proposition: Basenkriterium durch Dimension

Sei . Dann gilt:

1. linear unabhängige Vektoren in sind eine Basis von .
2. Erzeugendensysteme von mit Vektoren sind eine Basis von

Beweis

Zu 1. Seien linear unabhängige Vektoren in mit . Angenommen, wäre keine Basis. Dann könnten wir nach Basisergänzungssatz Vektoren zu ergänzen sodass eine Basis ist.

Das führt jedoch zu einem Widerspruch, denn .

Zu 2. Sei ein Erzeugendensystem von . Dann können wir nach Proposition - Erzeugendensysteme enthalten Basen Vektoren so wählen, dass sie eine Basis von sind.

Da , muss jede Basis jedoch genau Elemente haben. Daher muss bereits eine Basis sein.