Lemma - Das Austauschlemma

• Referenz:
  • } Mathematische Grundlagen KE3 - Austauschsatz von Steinitz
  • Mathegrundlagen

Lemma: Das Austauschlemma

Sei ein -Vektorraum Sei mit . Sei eine Basis von .

Dann gibt es ein , so dass eine Basis von ist

Das heißt, wir können einen Vektor der Basis austauschen, es bleibt jedoch weiterhin eine Basis

Anmerkung

Tipp

Wir dürfen diejenigen Vektoren der vorgegebenen Basis gegen austauschen, deren Koeffizienten ==in einer Linearkombination von == nicht Null sind. Wir dürfen aber jeweils nur einen dieser Vektoren mit Koeffizient ungleich Null austauschen. Wir müssen uns da also schon für einen entscheiden.

Beweis

Sei eine Basis von . Und der Austauschvektor mit .

Sollte der Austauschvektor in liegt, sind wir bereits fertig.

Sei also .

Erster Teil: Erzeugendensystem beweisen

Da eine Basis von ist, lässt sich als Linearkombination von ausdrücken. Es gibt also Koeffizienten, sodass

Da gibt es mindestens einen Koeffizienten mit . Wir stellen die Gleichung nach um:

Das heißt,

Da

1. ein Erzeugendensystem von ist und
2. ist auch ein Erzeugendensystem von .

Zweiter Teil: Lineare Unabhängigkeit beweisen

Wir zeigen die lineare Unabhängigkeit durch Widerspruch. Seien Koeffizienten, so dass

Vorausgesetzt, , können wir nach umstellen und es gilt

Das würde jedoch bedeuten, dass . Das ist jedoch nicht möglich, denn ist bereits

mit . Mit anderen Worten: liegt in aber nicht in .

Es folgt, dass , sind also linear unabhängig.

Schluss

Da also

• linear unabhängig und
• ein Erzeugendensystem von sind. Daher sind sie auch eine Basis von .