Korollar - Isomorphe Abbildung zwischen den Basen zweier Vektorräume

• Bewiesen durch:
  • Satz 8.4.1
  • Korollar 8.3.18 c)
• Generalisierungen:
  • Basistransformation
• Involvierte Definitionen:
  • Lineare Abbildung
  • Homomorphismus
    • Isomorphismus
  • Basis
• Referenz:
  • 8.4, Lineare Abbildungen und Basen
  • Mathegrundlagen

Korollar 8.4.6: Isomorphe Abbildung zwischen den Basen zweier Vektorräume

Seien und Vektorräume über . Sei

Dann gibt es zu

• jeder Basis von und
• jeder Basis von

genau eine lineare Abbildung mit mit .

Diese Abbildung ist ein Isomorphismus.

Beweis

1. Dass es eine solche Abbildung gibt, folgt aus Theorem - Jede Basis hat genau eine lineare Abbildung in den Wertebereich mit f(v_i)=w_i

2. Dass sie auch bijektiv und damit ein Isomorphismus ist, folgt aus Korollar - Lineare Abbildung ist bijektiv iff f(v1), …, f(v2) ist Basis von W