Korollar - Kern(f) ist isomorph zu der Lösungsmenge des homogenen LGS

• Bewiesen durch:
  • Korollar - Isomorph durch gleiche Dimension
  • Satz 8.2.2
  • Proposition 9.2.1
• Involvierte Definitionen:
  • Kern einer linearen Abbildung
  • Die Lösungsmenge homogener linearer Gleichungssysteme
  • Isomorphismus
  • Definition - Matrixdarstellung einer linearen Abbildung
• Referenz:
  • Kapitel 9.2 - Koordinatenvektor und Matrixdarstellungen
  • Mathegrundlagen

Korollar: Kern(f) und die Lösungsmenge des homogenen LGS

Sei eine lineare Abbildung. Seien und endlich erzeugte Vektorräume. Sei eine Basis von . Sei eine Basis von .

Sei die Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems .

Dann sind und isomorph. Insbesondere gilt

Beweis

Teil 1: Koordinatenvektor von ist eine Lösung des homogenen LGS

Ist , so ist . Für den Koordinatenvektor gilt

Da ist, gilt

Das heißt: ist der Nullvektor in .

Nach Proposition 9.2.1 gilt

Da , ist der Koordinatenvektor eine Lösung des homogenen linearen Gleichungssystems .

Teil 2: Löst das homogene LGS , dann liegt

Sei umgekehrt eine Lösung von .

Dann liegt der Vektor mit nach Proposition 9.2.1 im Kern von .

Teil 3: Schluss

Die Abbildung, die

• jeden Vektor auf seinen Koordinatenvektor abbildet ist somit eine bijektive Abbildung von in die Menge der Lösungen des homogenen LGS .

Dieser Abbildung ist genau eine Teilmenge der Koordinatenabbildung. Dass die Koordinatenabbildung isomorph ist, wussten wir schon durch Satz 8.2.2.

1. Daher gilt also auch .
2. Durch das Theorem - V ist isomorph zu W iff dim(V)=dim(W) gilt weiter .

Was zu zeigen war.