Korollar - Isomorph durch gleiche Dimension

• Bewiesen durch:
  • Die Koordinatenabbildung ist isomorph
• Generalisierungen:
  • Theorem - V ist isomorph zu W iff dim(V)=dim(W)
• Involvierte Definitionen:
  • Isomorphismus
  • Dimension
  • Basis
  • Vektorraum
  • Koordinatenabbildung

Korollar: Isomorph durch gleiche Dimension

Seien und endlich erzeugte Vektorräume über demselben Körper .

Wenn und dieselbe Dimension haben dann sind und isomorph.

Anmerkung

Theorem - V ist isomorph zu W iff dim(V)=dim(W) ist eine Erweiterung dieses Satzes

Beweis

Seien und endlich erzeugte Vektorräume über demselben Körper . Sei ferner .

Es ist zu zeigen, dass zwischen und eine isomorphe Abbildung existiert.

Sei dazu eine Basis von und eine Basis von .

Dann gibt es jeweils zwei isomorphe Abbildungen (siehe Die Koordinatenabbildung ist isomorph)

1. und

sowie

1. und

Da die Komposition von Isomorphismen wieder ein Isomorphismus ist, ist auch eine isomorphe Abbildung zwischen und , was zu zeigen war.