Theorem - Die Koordinatenabbildung ist isomorph

• Involvierte Definitionen:
  • Koordinatenabbildung
  • Isomorphismus
  • Homomorphismus
  • Vektorraum
  • Basis
  • Linearkombination
• Referenz:
  • } Mathematische Grundlagen KE3 - Isomorphe Vektorräume
  • Mathegrundlagen

Satz: Die Koordinatenabbildung ist isomorph

Sei eine Basis und eine Koordinatenabbildung bezüglich .

Dann ist ein Isomorphismus.

Beweis

Es ist zu zeigen, dass

1. eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen ist,
2. linear ist,
3. bijektiv ist.

0. Teil: ist eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen

Dass eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen (nämlich zwischen und ) ist, ist bereits Teil der Definition.

Es bleibt zu zeigen, dass linear und bijektiv ist.

1. Teil: Linearität von

Seien eine Basis von Seien und in .

Dann gilt:

Also , was für zu zeigen war.

Sei nun auch Dann gilt weiter:

Also , was für zu zeigen war.

Aufgrund von und ist eine lineare Abbildung.

2. Teil: Bijektivität von

1. Beweisoption per Surjektivität/Injektivität

ist surjektiv.

Sei beliebig und sei . Dann gilt: . Das heißt, alle Elemente der Zielmenge liegen im Bild von . Damit ist surjektiv.

ist injektiv.

Seien so, dass .

Dann ist und .

Nach Definition von gibt es Vektoren , so dass und .

Da gelten soll, müssen gleich sein und damit auch .

ist also injektiv.

Da surjektiv und injektiv ist, ist auch bijektiv, was zu zeigen war.

2. Beweisoption per inverser Funktion

Es reicht an dieser Stelle zu zeigen, dass es eine inverse Funktion gibt, so dass

2. und

Sei und mit

Dann gilt:

Also

und andererseits

also .

ist also eine inverse Funktion zu . Damit gilt, dass bijektiv ist.

3. Teil: Schluss

Da linear und bijektiv ist, ist ein Isomorphismus.