Proposition - Zusammenhang zwischen Matrixdarstellung und Koordinatenabbildung

• Involvierte Definitionen:
  • Matrixdarstellung CMB(f)
  • Koordinatenabbildung
  • Koordinatenvektor
  • Vektorraum der linearen Abbildungen
• Referenz:
  • Kapitel 9.2 - Koordinatenvektor und Matrixdarstellungen
  • Mathegrundlagen

Proposition: Zusammenhang zwischen Matrixdarstellung und Koordinatenabbildung

Seien und endlich erzeugte -Vektorräume. Seien und Basen von beziehungsweise .

Sei eine lineare Abbildung. Dann gilt für alle

Beweis

Sei und sei . Sei die Matrix von bezüglich der Basen und Sei

Dann ist der Koordinatenvektor von bezüglich . Nach Definition der Matrixdarstellung einer Abbildung ist

ü

Das heißt, der Koordinatenvektor von besteht aus den Summen

Die wir auch durch die Matrixmultiplikation wie folgt darstellen können:

Und das ist genau, was zu zeigen war.