Proposition - Komposition linearer Abbildungen als Matrizenmultiplikation

• Involvierte Definitionen:
  • Definition - Matrixdarstellung einer linearen Abbildung
  • Basis
• Referenz:
  • Kapitel 9.3 - Matrizenprodukt und Komposition
  • Mathegrundlagen

Proposition: Proposition - Komposition linearer Abbildungen als Matrizenmultiplikation

Seien und endlich erzeugte Vektorräume. Seien und lineare Abbildungen. Sei eine Basis von . Sei eine Basis von . Sei eine Basis von .

Dann gilt:

Beweis

Seien eine Basis von . eine Basis von . eine Basis von .

Sei . Sei .

Sei . Der Eintrag an der Stelle ist .

Um zu bestimmen, müssen wir

1. für alle für alle bestimmen und
2. die Vektoren als Linearkombination der Basisvektoren von schreiben.

Der Eintrag an der Stelle von ist der Koeffizient von in der Linearkombination von .

für und gilt

Also gilt:

Der Eintrag an der Stelle von ist also und das ist gerade gleich dem Eintrag an der Stelle von , also .

Das heißt: was zu zeigen war.