Algorithmus - Berechnung der Singulärwertzerlegung

• Involvierte Definitionen:
  • Singulärwertzerlegung
• Veranstaltung: MatheDS
• Referenz: @riedel2023, @marquardt2023

⠀

Algorithmus: Berechnung der Singulärwertzerlegung

Wir berechnen zunächst:

• Eigenwerte von (Wichtig: wir sortieren sie der Größe nach, sodass .

• Eigenvektoren der Eigenwerte .

(a) Die Singulärwerte berechnen wir durch

(b) Die Spalten der orthogonalen Matrix berechnen wir durch

(c) Die Spalten der orthogonalen Matrix berechnen wir durch

üü

Beispiel

Das Beispiel habe ich @marquardt2023 entnommen (Singulärwertzerlegung - Übersicht, Anwendung und Berechnung).

Sei

Vorberechnungen (Rang, Eigenwerte, Eigenvektoren)

Rang von

Den Rang von erhalten wir einfach über die TNF von . Mithilfe des Gaußalgorithmus ist :

die TNF zu . Da genau zwei Pivot-Positionen hat, gilt .

Eigenwerte von

Wir berechnen zunächst

Anschließend berechnen wir die Eigenwerte von (siehe hierzu auch Eigenwerte berechnen). Wir bilden also erst das charakteristische Polynom und finden die Nullstellen.

Es gilt:

Mithilfe der p-q-Formel gilt:

Eigenvektoren zu den Eigenwerten

Um die Eigenvektoren zu berechnen, bestimmen wir zunächst den passenden Eigenraum.

Hierzu lösen wir für beide Eigenwerte jeweils das LGS

Wir nutzen hierfür die Merkregel zur Berechnung der Lösungsmenge homogener LGS.

Erster Eigenvektor

Zunächst für :

Als ersten Eigenraum erhalten wir also

Als Eigenvektor wählen wir einfach

Zweiter Eigenvektor

Jetzt für :

Als zweiten Eigenraum erhalten wir also

Als Eigenvektor wählen wir einfach

Hauptrechnung ( und )

(a) Singulärwertmatrix

Da wir die Eigenwerte bereits berechnet haben () erhalten wir als:

(b) Eigenvektormatrix

Da wir die Eigenvektoren bereits berechnet haben () erhalten wir als:

gilt:

sowie

Wir erhalten damit

und

Orthogonale Matrix

Da wir jetzt schon und haben, erhalten wir als:

Da es keinen Vektor gibt, können wir nun beliebig wählen, vorausgesetzt, ist orthogonal zu und .

Einen solchen Vektor können wir bspw. mithilfe des Gram-Schmidt’schen-Orthonormalisierungsverfahrens ermitteln.

Wir wählen als Basis und berechnen

Jetzt normalisieren wir noch und erhalten

Die Matrix ist also:

Damit sind wir fertig.

Überprüfung

Wir haben also

Wir machen jetzt die Probe, gilt wirklich ? Es gilt:

und damit

was zu zeigen war 🥳

Zum Nachprüfen, hier einmal die Matrizen

Um die Rechnung zu überprüfen, kann https://matrixcalc.org/ genutzt werden.

:

sqrt(30)/15	  sqrt(5)/5	-sqrt(6)/3
sqrt(30)/6	          0	 sqrt(6)/6
sqrt(30)/30	-2sqrt(5)/5	-sqrt(6)/6

:

sqrt(6)	0
0	1
0	0

:

2*5^0.5/5	   5^0.5/5
5^0.5	         0
5^0.5/5	-2*5^0.5/5

:

2/sqrt(5)	 1/sqrt(5)
1/sqrt(5)	-2/sqrt(5)