Definition - Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsverfahren

• Involvierte Definitionen:
  • Orthogonalität
  • Projektionsvektor, bspw.
  • Orthogonalvektor, bspw.
  • Norm
• Veranstaltung: MatheDS
• Referenz: @riedel2023

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Definition: Gram-Schmidt-Ortho gonalisierungsverfahren

Sei ein System von Vektoren.

Um mit dem Gram-Schmidt-Verfahren zur Orthogonalisierung anfangen zu können, wählen wir erstmal einen Vektor aus, bspw. .

Für den zweiten Vektor gehen wir wie folgt vor:

1. Wähle einen weiteren Vektor aus dem System aus, bspw. .

2. Berechne einen zu , aber nicht zu orthogonalen Vektor:

Für den dritten Vektor gehen wir wie folgt vor:

1. Wähle einen weiteren Vektor aus dem System aus, bspw. .

2. Berechne einen zu , aber nicht zu orthogonalen Vektor:

Für den n-ten Vektor gehen wir wie folgt vor:

1. Wähle einen weiteren Vektor aus dem System aus, bspw. .

2. Berechne einen zu , aber nicht zu orthogonalen Vektor:

Orthogonalbasis normalisieren

Sei ein System von Vektoren.

Hat man bereits das Orthogonalisierungsverfahren durchgeführt, erhält man die Orthonormalbasis, indem man die Vektoren einfach normiert.

ist also die Orthonormalbasis.

Definition: Gram-Schmidt-Ortho normalisierungsverfahren

Sei ein System von Vektoren.

Um mit dem Gram-Schmidt-Verfahren zur Orthonormalisierung anfangen zu können, wählen wir erstmal einen Vektor aus und normalisieren ihn, bspw. .

Für den zweiten Vektor gehen wir wie folgt vor:

1. Wähle einen weiteren Vektor aus dem System aus, bspw. .

2. Berechne einen zu , aber nicht zu orthogonalen Vektor:

3. Normalisiere ihn:

Für den dritten Vektor gehen wir wie folgt vor:

1. Wähle einen weiteren Vektor aus dem System aus, bspw. .

2. Berechne einen zu , aber nicht zu orthogonalen Vektor:

3. Normalisiere ihn:

Für den n-ten Vektor gehen wir wie folgt vor:

1. Wähle einen weiteren Vektor aus dem System aus, bspw. .

2. Berechne einen zu , aber nicht zu orthogonalen Vektor:

3. Normalisiere ihn:

Anmerkung

Weshalb teilen wir im Orthonormalisierungsverfahren nicht durch ?

Im Orthonormalisierungsverfahren hat immer genau die Länge .

Mit der Proposition Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst, gilt

Da aber ist auch .

Daher können wir uns das dividieren durch an dieser Stelle sparen.