Proposition - Invarianz der Lösungsmenge bzgl. inverser Matrizen

• Bewiesen durch:
  • Assoziativgesetz der Matrizenmultiplikation
  • Invertierbare Matrix
• Referenz: } Mathematische Grundlagen KE2 - Struktur d. Lösungsmenge von LGS

Proposition 5.2.3: Invarianz bzgl. inverser Matrizen

Sei

• die Menge aller Lösungen von und
• die Menge aller Lösungen von .

Ist invertierbar, dann gilt:

Beweis

Erste Richtung

Sei . Es ist zu zeigen, dass auch , also dass auch eine Lösung des LGS ist.

Es gilt, dass . Es ist also zu zeigen, dass auch gilt:

Aufgrund des Assoziativgesetzes gilt . Es gilt . Das heißt:

ist also auch eine Lösung des LGS , was zu zeigen war.

Zweite Richtung

Sei . Es ist zu zeigen, dass auch

Es gilt, dass . Es ist also zu zeigen, dass auch gilt:

Da invertierbar ist, gibt es ein .

Es gilt:

was zu zeigen war