Vektorraum der Polynome

---

Zusammenfassung

Definition

Um den Vektorraum zu definieren, fehlen uns noch die Polynom-Rechenregeln dieses Vektorraums. Diese wollen wir nun folgend definieren. In den jeweiligen Abschnitten zeigen wir auch direkt, dass die Gesetze, die ein Vektorraum erfüllen muss, gelten.

Polynom-Addition

Definition: Polynom-Addition

Seien und zwei Polynome in .

• Ist , setzen wir die Koeffizienten
• Ist , benennen wir ( in ) und ( in ) um, und verfahren bzgl. der Koeffizienten wie im ersten Schritt

Wir können nun annehmen, dass die Polynome die Form und haben.

Wir definieren:

Da die Addition in kommutativ und assoziativ ist, ist die Polynom-Addition das auch.

Das neutrale Element ist das Nullpolynom. Das inverse Element eines Polynoms ist .

Polynom-Skalarmultiplikation

Da also alle Gesetze hinreichend gezeigt sind, weiter mit der Skalarmultiplikation:

Definition: Polynom-Skalarmultiplikation

Sei und . Wir definieren:

Es gelten Assoziativität, Kommutativität, neutrales Element und inverses Element sowie die Distributiv-Gesetze.

Beispiele

---

Appendix

• Tags:
  • Math
• Reference:
  • } Mathematische Grundlagen KE2 - Vektoren
• Related:
  • Polynom
  • Vektorraum

---