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Proposition - Vektorraum der linearen Abbildungen ist ein K-Vektorraum

Jul 12, 202310 min read

Proposition:

ist ein -Vektorraum.

Beweis

ist eine Verknüpfung auf

Seien . Es ist zu zeigen, dass oder in anderen Worten: auch ist eine lineare Abbildung von nach .

1. f+g ist eine Abbildung von

Sei . Seien und . Dann gilt: und . Da und da ein Vektorraum ist, gilt auch .

Das heißt: .

Die Addition ist also eine Abbildung von .

Es bleibt zu zeigen, dass sie linear ist.

2. f+g ist linear

Seien und Es gilt:

und weiter

Und damit ist eine lineare Verknüpfung von

ist eine Verknüpfung auf

Sei und . Es ist zu zeigen, dass oder in anderen Worten: dass eine lineare Abbildung von nach ist.

1. ist eine Abbildung von

Sei beliebig.

Dann gilt mit . Da ein Vektorraum ist, gilt auch .

Es bleibt zu zeigen, dass linear ist.

2. ist linear

Sei . Es gilt:

und sei weiter , dann gilt

Und damit ist eine lineare Verknüpfung von

Die Vektorraumaxiome gelten

1. Additions-Axiome

1.1 Assoziativität

Es ist zu zeigen, dass

Also:

was zu zeigen war.

1.2 Kommutativität

Es ist zu zeigen, dass

Also:

was zu zeigen war.

1.3 Neutrales Element

Es ist zu zeigen, dass ein neutrales Element existiert, so dass . Bei diesem neutralen Element handelt es sich um Definition - Das Neutrales Element der Addition in Hom-K

Sei mit .

Es gilt

Also , was zu zeigen war.

1.4 Inverses Element

Es ist zu zeigen, dass für jedes ein inverses Element existiert, so dass . Bei diesem inversen Element handelt es sich um Definition - Das inverse Element der Addition in Hom-K.

Sei also mit .

Es gilt also:

also gilt , was zu zeigen war.

2. Skalarmultiplikations-Axiome

2.1 Assoziativität

Es ist zu zeigen, dass .

Es gilt

was zu zeigen war.

2.2 Neutrales Element

Es ist zu zeigen, dass

Es gilt

was zu zeigen war.

3. Distributivgesetze

3.1 Erstes Distributivgesetz

Es ist zu zeigen, dass

Es gilt

Was zu zeigen war.

3.2 Zweites Distributivgesetz

Es ist zu zeigen, dass

Es gilt

Was zu zeigen war.

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