Theorem - Zusammenhang der Basen des Vektorraums, des Kerns und des Bildes

• Involvierte Definitionen:
  • Vektorraum
  • Das Bild einer linearen Abbildung
  • Kern einer linearen Abbildung
  • Basis
• Referenz:
  • } Mathematische Grundlagen KE3 - Der Rangsatz
  • Mathegrundlagen

Theorem: Zusammenhang der Basen des Vektorraums, des Kerns und des Bildes

Sei ein endlich erzeugter Vektorraum. Sei eine lineare Abbildung. Sei eine Basis von Sei eine Basis von

Dann ist eine Basis von .

Anmerkung

Das folgende gilt leider nicht

Das heißt weiter, dass:

Beweis

1. Teil: sind ein Erzeugendensystem von

Sei .

Dann gibt es ein mit .

Da eine Basis von ist, gibt es Koeffizienten , so dass .

Da , gilt ferner:

Da jedes eine Linearkombination der Vektoren ist, folgt, dass ein Erzeugendensystem von ist.

2. Teil: sind linear unabhängig in

Seien Skalare, so dass

Da linear ist, gilt auch:

Damit liegt also in .

Da eine Basis von ist, gibt es Koeffizienten so dass

Da allerdings eine Basis von ist (und die Vektoren daher linear unabhängig sind) folgt, dass alle Koeffizienten Null sein müssen.

Und das heißt wiederum, dass nur gilt, wenn auch Null sind. Es handelt sich dabei also um eine triviale-Darstellung des Nullvektors sind linear unabhängig.