Bemerkung - Das Bild einer linearen Abbildung ist ein Unterraum des Wertbereiches

• Bewiesen durch:
  • Rechenregeln linearer Abbildungen
  • Unterraumkriterium
• Involvierte Definitionen:
  • Das Bild einer linearen Abbildung
  • Lineare Abbildung
  • Unterraum
• Referenz: } Mathematische Grundlagen KE3 - Bild und Kern
  • Mathegrundlagen

Bemerkung: Das Bild einer linearen Abbildung ist ein Unterraum des Wertbereiches

Sei eine lineare Abbildung. Dann ist ein Unterraum von .

Beweis

Sei eine lineare Abbildung.

Dann ist per Definition eine Teilmenge von . Für den Beweis nutzen wir das Unterraumkriterium:

1. Da eine lineare Abbildung ist, gilt . Es ist also .
2. Da eine lineare Abbildung ist, gilt
3. Da eine lineare Abbildung ist, gilt

Nach Unterraumkriterium ist daher ein Unterraum von .