Proposition - Jede konvergente Folge ist beschränkt

• Bewiesen durch:
  • Proposition 12.2.40
• Generalisierungen:
  • Korollar 13.5.3
• Involvierte Definitionen:
  • Folge
  • Beschränktheit von Folgen
  • Konvergenz einer Folge
• Referenz: Mathegrundlagen

Proposition: Jede konvergente Folge ist beschränkt

Sei eine Folge.

Dann gilt:

ä

Beweis

Sei eine konvergente Folge. Dann gilt .

Sei , dann gilt nach Definition 13.1.6, dass fast alle Glieder von in liegen.

Das heißt aber auch, dass eine Obere Schranke und eine Untere Schranke von ist.

Weiter ist auch die endliche Menge der Folgenglieder, die nicht in liegen, beschränkt: Mit Proposition 12.2.40 gilt, dass jede endliche Menge ein Minimum und ein Maximum hat und demnach beschränkt ist.