Beispiel - Die divergierende Exponenten-Folge

• Bewiesen durch:
  • Proposition 13.2.7
  • Bernoulli’sche Ungleichung
  • Satz des Archimedes
• Involvierte Definitionen:
  • Divergenz
  • Folge
• Referenz: Mathegrundlagen

Beispiel - Die divergierende Exponenten-Folge

Sei , dann divergiert die Folge .

Beweis

Mit Proposition 13.2.7 reicht es, zu zeigen, dass nicht beschränkt ist. Wir führen den Beweis durch Widerspruch.

Zunächst wollen wir jedoch mit der Bernoulli’schen Ungleichung nach oben abschätzen.

Da nach Voraussetzung , können wir auch darstellen als , wobei mit . Mit der Bernoulli’schen Ungleichung folgt:

Angenommen, wäre beschränkt. Dann gäbe es ein mit

Mit der Ungleichung, die wir kurz zuvor aufgestellt haben, gilt dann jedoch auch:

Das würde jedoch bedeuten, dass eine Obere Schranke der Natürliche Zahlen wäre. Das ist aber ein Widerspruch zu dem Satz des Archimedes.

Es folgt, dass für nicht beschränkt sein kann und damit auch nicht konvergent ist.