Proposition - Jede endliche Teilmenge der reellen Zahlen hat ein Minimum und Maximum

• Involvierte Definitionen:
  • Reelle Zahlen
  • Minimum
  • Maximum

Proposition: Endliche Teilmengen der reellen Zahlen haben ein Minimum und Maximum

Jede nicht leere, endliche Teilmenge besitzt

• ein Minimum und
• ein Maximum.

Beweis

Wir beweisen die Behauptung mit Induktion nach .

Induktionsanfang

Sei . Dann betrachten wir die Menge .

Es gilt

• denn in beiden Fällen.

Damit hält der Induktionsanfang.

Induktionsannahme

Wir nehmen nun an, dass für ein die Behauptung, dass ein Minimum und ein Maximum besitzt, hält.

Induktionsschritt

Es ist zu zeigen, dass ein Minimum und ein Maximum besitzt.

Es gilt

Nach Induktionsannahme gibt es mit und

Dann hat aber auch ein Maximum und ein Minimum.

• Falls gilt , so ist das Minimum von . Andernfalls bleibt das Minimum.
• Falls gilt , so ist das Maximum von . Andernfalls bleibt das Maximum.

Mit dem Prinzip der vollständigen Induktion folgt die Behauptung.