Proposition - Folge reeller Exponenten

• Involvierte Definitionen:
  • Reeller Exponent
  • Exponent
  • Folge
  • Konvergenz
  • Exponentialfunktion
• Referenz: Mathegrundlagen

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Proposition: Die Folge der reellen Exponenten

Sei .
Sei eine konvergente Folge beliebiger reeller Zahlen mit

• und
• mit .

Dann konvergiert die Folge gegen .

Anmerkung

Der Beweis ist sehr ähnlich zu Lemma 14.2.20

TIP

Hieraus folgt, dass die Exponentialfunktion stetig ist.

Beweis

Wir bearbeiten den Beweis etappenweise in zwei Teilen.

Teil 1: Sei eine Nullfolge

Mit Proposition 14.2.19 gilt, dass

Mit Proposition 13.4.12 folgt, dass

Sei . Nach Definition 13.1.6 gibt es dann ein , sodass

Wir halten dieses nun fest. Da wir vorausgesetzt hatten, dass eine Nullfolge ist, gibt es ein , sodass

Daher gilt mit Proposition 12.2.80 für alle :

In jedem Fall liegt also zwischen und . Da beide Folgen gegen konvergieren, folgt mit dem Einschnürungssatz, auch für :

Das ist genau, was zu zeigen war, denn ist ja eine Nullfolge.

Teil 2: Sei konvergent gegen

Mit Aufgabe 13.1.4 gilt dann, dass

Da gilt auch, dass . Mit Teil 1 folgt, dass

Da die Folge konvergent ist, dürfen wir die Rechenregeln aus Proposition 13.4.12 nutzen. Auch die konstante Folge ist konvergent (siehe Beispiel 13.1.11 1)). Mit Proposition 13.4.12 folgt:

was zu zeigen war.