Proposition - Nullfolge in Exponentialfunktion und Bruch

• Involvierte Definitionen:
  • Exponentialfunktion
  • Natürlicher Logarithmus
  • Nullfolge
  • Konvergenz
• Referenz: Mathegrundlagen

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Proposition: Nullfolge in Exponentialfunktion und Bruch

Sei .
Sei eine Nullfolge mit

Dann gilt:

Beweis

Wir machen hier am Anfang wieder eine Fallunterscheidung:

Sei im Folgenden wobei für alle .

1. Teil: Sei

Dann gilt:

Was zu zeigen war.

2. Teil: Sei

Teil 2.1: genauere Untersuchung von

Da gilt mit Proposition 14.2.29:

Mit gilt, dass es sich bei

um eine Nullfolge handelt.

Was ist eigentlich ?

Bei handelt es sich um den oberen Teil des Bruchstrichs in der Aussage, die wir beweisen wollen

Sei , dann folgt für (siehe Gleichung ) mit Korollar 14.2.23

Weiter gilt:

Mit den Gleichungen und dürfen wir nun Satz 14.2.39 auf anwenden. Damit gilt:

Mit Proposition 14.2.46 folgt weiter:

Da und , können wir mit Satz 14.2.42 8.) folgendermaßen umschreiben:

Mit Gleichungen und gilt also:

Teil 2.2: Genauere Untersuchung von

Wir betrachten jetzt noch einmal die Gleichung genauer. Wieder mit Satz 14.2.42 8.) gilt:

Indem wir nun durch teilen, erhalten wir:

Teil 2.3: Folgerungen und Beweisschluss

Wir erinnern uns: Es war zu zeigen, dass

Wir setzen nun Gleichung ein und erhalten:

Der Term und sein Grenzwert sind uns bereits aus Gleichung bekannt, während wir einfach als konstante Folge interpretieren können. Damit existiert auch der Grenzwert und mit Proposition 13.4.12 gilt:

was zu zeigen war.