Proposition - Die Wurzelfolge einer Konstanten

• Involvierte Definitionen:
  • Konvergenz
  • Folge
• Referenz: Mathegrundlagen

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Proposition: Die Wurzelfolge einer Konstanten

Für alle konvergiert die Folge gegen .

Beweis

Wir teilen den Beweis in zwei Abschnitte auf.

Teil 1: Sei .

Wir können an dieser Stelle den Einschnürungssatz nutzen, denn für alle Folgenglieder mit gilt:

Mit Beispiel 13.1.11 3) und Beispiel 13.4.16 2.) wissen wir bereits, dass .

Mit dem Einschnürungssatz folgt also, dass auch .

Teil 2: Sei

Dann gilt mit Proposition 12.2.13 - daher können wir Teil 1 dieses Beweises auf anwenden.

Damit gilt: . Mit Definition 12.2.76 können wir die Folge für unsere Zwecke jetzt noch etwas anders schreiben:

Der Kehrwert von ist . Da wir wissen, dass

1. und

gilt mit Proposition 13.4.12

3. Teil: Schluss

Für alle gilt also , was zu zeigen war.