Beispiel - Die Wurzel einer Folge

• Bewiesen durch:
  • Proposition 12.2.79
  • Proposition 13.4.6
  • Proposition 12.2.21
  • Satz 12.2.62
  • Proposition 12.2.79
  • Aufgabe 13.1.4
  • Proposition 13.4.12
• Involvierte Definitionen:
  • p-te Wurzel
  • Folge
  • Konvergenz
• Referenz: Mathegrundlagen

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Beispiel: Die Wurzel einer Folge

Sei eine Folge mit . Sei .

Dann gilt:

Beweis

Sei .

Fall 1: Sei

Falls der Grenzwert ist, dann gibt es ein , sodass

Das heißt, auch konvergiert gegen . Da gilt .

Fall 2: Sei

Falls der Grenzwert von tatsächlich sein sollte, dann muss eine Nullfolge sein. Mit Proposition 13.4.6 werden wir zeigen, dass das tatsächlich der Fall ist.

Hierzu würden wir gerne nach oben gegen eine Nullfolge abschätzen.

Für alle ==== gilt:

Das ist genau die Form, die Proposition 13.4.6 von uns erwartet. Jetzt müssen wir nur noch zeigen, dass eine Nullfolge ist.

Da der Grenzwert von , gilt mit Aufgabe 13.1.4, dass eine Nullfolge ist. Die Folge hingegen ist konstant und konvergiert daher gegen . Mit Proposition 13.4.12 folgt

ist also tatsächlich eine Nullfolge. Damit greift nun Proposition 13.4.6 und es folgt, dass ebenfalls eine Nullfolge ist.

Daraus folgt wiederum mit Aufgabe 13.1.4, dass der Grenzwert von ist, was zu zeigen war.