Beispiel - Die Wurzelfolge

Beispiel - Die Wurzel-Folge

Die Folge konvergiert gegen .

Beweis

Nach Definition 13.1.8 müssen wir also zeigen, dass es ein gibt, sodass

Als Erstes wollen wir diesen Ausdruck etwas vereinfachen. Hierzu zeigen wir zunächst, dass .

Da , gilt . Da weiter auch , gilt mit Proposition 12.2.79:

Da also , gilt auch und damit

Wir müssen jetzt also nur noch zeigen, dass

Wobei .

Den Term können wir mit dem Binomischen Lehrsatz nach oben abschätzen. Es gilt nämlich:

und damit:

Also kurz: .

Stellen wir das ganze jetzt noch um, erhalten wir am Ende eine Abschätzung von :

ü

Der Bruch auf der rechten Seite, , sieht schon fast so aus wie Die Wurzelbruch-Folge . Von der wissen wir schon, dass sie gegen konvergiert. Damit gibt es also auch ein , sodass:

Mit dem Transitivitätsgesetz (A7) gilt also:

was zu zeigen war.