Lemma - Die Folge der rationalen Exponenten

• Generalisierungen:
  • Proposition - Folge reeller Exponenten
• Involvierte Definitionen:
  • Rationale Zahlen
  • Exponent
  • Konvergenz
  • Folge
• Referenz: Mathegrundlagen

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Lemma: Die Folge der rationalen Exponenten

Sei eine Folge mit

• und
• mit

Dann konvergiert die Folge gegen .

Beweis

Wir bearbeiten den Beweis etappenweise in zwei Teilen.

Teil 1: Sei eine Nullfolge

Mit Proposition 14.2.19 gilt, dass

Mit Proposition 13.4.12 folgt, dass

Sei . Nach Definition 13.1.6 gibt es dann ein , sodass

Wir halten dieses nun fest. Da wir vorausgesetzt hatten, dass eine Nullfolge ist, gibt es ein , sodass

Daher gilt mit Proposition 12.2.80 für alle :

In jedem Fall liegt also zwischen und . Da beide Folgen gegen konvergieren, folgt mit dem Einschnürungssatz, auch für :

Das ist genau, was zu zeigen war, denn ist ja eine Nullfolge.

Teil 2: Sei konvergent gegen

Mit Aufgabe 13.1.4 gilt, dass

Da gilt auch, dass . Mit Teil 1 folgt, dass

Da die Folge konvergent ist, dürfen wir die Rechenregeln aus Proposition 13.4.12 nutzen. Auch die konstante Folge ist konvergent (siehe Beispiel 13.1.11 1)). Mit Proposition 13.4.12 folgt:

was zu zeigen war.