Aufgabe - Jede Funktion auf einer endlichen Teilmenge ist stetig

• Involvierte Definitionen:
  • Funktion
  • Stetigkeit
• Referenz: Mathegrundlagen

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Aufgabe: Jede Funktion auf einer endlichen Teilmenge ist stetig

Sei eine endliche Teilmenge von .

Dann ist jede Funktion stetig.

Beweis

Teil 1: Sei mit

Sei und sei eine Folge in , sodass .

Da nur ein Element hat, ist konstant. Damit ist auch konstant und konvergiert gegen .

Teil 2: Sei beliebig aber endlich

Sei beliebig und sei eine Folge in , sodass .

Dann ist zu zeigen, dass

Oder anders gesagt: in jeder -Umgebung liegen fast alle Glieder von .

Da endlich ist, können wir eine Epsilon-Umgebung so wählen, dass . Sei hierzu der minimale Abstand zwischen und allen mit . Dann gilt eben genau:

Damit gilt aber auch, dass es ein Endstück von gibt, dessen Folgenglieder alle den Wert annehmen.

Es gilt also und ist in stetig.