Theorem - Epsilon-Delta-Kriterium für den Grenzwert

• Involvierte Definitionen:
  • Funktion
  • Häufungspunkt
  • Konvergenz einer Funktion
  • Grenzwert
• Referenz: Mathegrundlagen

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Theorem: Epsilon-Delta-Kriterium für den Grenzwert

Sei eine Funktion.
Sei ein Häufungspunkt von .

Dann gilt:

konvergiert in mit

Beweis

Sei mit

üü

Das heißt, ist eine stetige Fortsetzung von . Dann gilt:

Mit dem Theorem - Epsilon-Delta-Kriterium für Stetigkeit gilt:

Da Gleichung für alle gilt, gilt es insbesondere auch für alle (denn schließlich ist ja ).

Es gilt also auch:

Nach Definition von (siehe Gleichung ), gilt

Wir setzen beides in ein und erhalten:

Damit sind wir schon fast am Ziel. Tatsächlich sind wir sogar schon am Ziel, denn der Ausdruck ist eine Tautologie und damit immer wahr:

1. ist durch Definition 12.2.19 ausgeschlossen und
2. ist ausgeschlossen, da .

Hiermit und mit Gleichungen und erhalten wir also

was zu zeigen war.