Theorem - Schwaches Gesetz der großen Zahlen

• Bewiesen durch:
  • Tschebyschow-Ungleichung
• Involvierte Definitionen:
  • Unkorreliertheit von Zufallsvariablen
  • Stochastische Unabhängigkeit von Zufallsvariablen
  • Folge von Zufallsvariablen
  • Erwartungswert
  • Varianz
  • Arithmetisches Mittel
  • Stochastische Konvergenz
  • Grenzwert
  • Wahrscheinlichkeitsmaß
  • Verteilung einer Zufallsvariablen
  • Konvergenz einer Folge
  • Folge von Zufallsvariablen
  • Lebesgue-Raum
  • Siehe auch Starkes Gesetz der großen Zahlen
• Veranstaltung: EiS, MatheDS
• Referenz: @henze2019, @riedel2023

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Theorem: Schwaches Gesetz der großen Zahlen ( -Version)

Sei eine Folge identisch verteilter paarweise unabhängiger Zufallsvariablen mit .

Dann gilt mit dem schwachen Gesetz der großen Zahlen:

wobei der Erwartungswert einer beliebigen Zufallsvariablen ist (die ja alle denselben Erwartungswert haben).

Theorem: Schwaches Gesetz der großen Zahlen ( -Version)

Sei eine Folge von Zufallsvariablen mit .

Wenn

1. Alle denselben Erwartungswert und
2. alle dieselbe Varianz haben

so gilt mit dem schwachen Gesetz der großen Zahlen:

wobei der Erwartungswert einer beliebigen Zufallsvariablen ist (die ja nach 1. alle denselben Erwartungswert haben).

Wie war das noch mit der stochastischen Konvergenz?

Nach Definition der stochastischen Konvergenz gilt:

und damit

Komplementäraussage

Ebenso gilt

Anmerkung

Weshalb spricht man eigentlich vom schwachen Gesetz der großen Zahlen

Wir sprechen vom schwachen Gesetz der großen Zahlen, da es sich bei der Konvergenz um Stochastische Konvergenz handelt.

Bei fast-sicherer Konvergenz sprechen wir vom starken Gesetz der großen Zahlen.

Interpretation

Dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Folge nicht gegen den Erwartungswert konvergiert ist

bedeutet nichts anderes als: die Wahrscheinlichkeit dafür, dass für beliebig kleine - und damit im Grunde:

Mit den Mitteln der Folgenkonvergenz ausgedrückt

Den Sachverhalt von

können wir auch mit Mitteln der Folgenkonvergenz ausdrücken (behaupte ich jedenfalls):

Beispiel:

Die folgende Abbildung (siehe auch @henze2019) zeigt 3 verschiedene Graphen. Jeder Graph gibt das arithmetische Mittel der Augenzahlen von simulierten Würfen mit einem Würfel. Jeder Wurf wird also durch eine Zufallsvariable abgebildet.

Man erkennt, dass sich die 3 Graphen (jeweils eine Ausführung des gesamt-Experiments) gegen den Erwartungswert stabilisieren:

Beweis

Alter Beweis

An dieser Stelle habe ich die Formulierung ohne stochastische Konvergenz bewiesen, also

Eventuell ziehe ich das noch mal nach, wenn ich mehr Zeit habe.

Da der Erwartungswert eine Lineare Abbildung ist, gilt:

Da stochastisch unabhängig sind, folgt mit der Additionsregel der Varianz und der Tatsache, dass die Varianz eine homogene Funktion 2. Grades ist, auch:

Mit der Tschebyschow-Ungleichung folgt nun:

Da eine Konstante ist, gilt . Es folgt:

was zu zeigen war.