Definition - Wahrscheinlichkeitsmaß

• Typen:
  • Stetiges Wahrscheinlichkeitsmaß
  • Wahrscheinlichkeitsverteilung (einer Zufallsvariablen)
  • Stetige Verteilung
  • Diskrete Verteilung
  • Diskrete Gleichverteilung
  • Bedingte Verteilung
  • A-priori-Wahrscheinlichkeit
  • A-posteriori-Wahrscheinlichkeit
• Beispiele:
  • Startverteilung eines mehrstufigen stochastischen Vorgangs
  • Allgemeine Übergangswahrscheinlichkeit eines mehrstufigen stochastischen Vorgangs
  • Transitionswahrscheinlichkeitsfunktion (MDP)
• Konstrukte:
  • Erwartungswert
  • Verteilung einer Zufallsvariablen
  • Mengenschreibweise bei Zufallsvariablen
  • Induziertes Wahrscheinlichkeitsmaß
  • Bedingte Wahrscheinlichkeit
  • Stochastische Unabhängigkeit
  • Entropie
• Generalisierungen:
  • Mengenfunktion
  • Maßfunktion
  • Kolmogorov-Axiome
• Eigenschaften:
  • Kolmogorov-Axiome
  • Addition von Wahrscheinlichkeiten
  • W-Maß der leeren Menge ist 0 (damit sind W-Maße auch Maße)
  • W-Maße liegen für beliebige Ereignisse zwischen 0 und 1
  • W-Maße sind Endlich-Additiv
  • Gegenwahrscheinlichkeit
  • W-Maße sind Monoton
  • W-Maße sind Sigma-Subadditiv
  • W-Maße sind Sigma-Stetig
  • Schwaches Gesetz der großen Zahlen
  • Siebformel für Ereignisse
  • Markov-Ungleichung
  • Bedingte Ereignisse
    • Bedingte Wahrscheinlichkeit
    • Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit
    • Satz von Bayes
    • Allgemeine Multiplikationsregel
    • Wahrscheinlichkeit für den Schnitt eines Ereignisses mit dem Komplement eines anderen Ereignisses
• Involvierte Definitionen:
  • Mengenfunktion
  • Definition - Potenzmenge
  • Wahrscheinlichkeitsraum
  • Ereignis
  • Ereignismenge
  • Ergebnismenge
  • Kolmogorov-Axiome
  • Sigma-Additivität
• Veranstaltung: AlMa, EiS
• Referenz: @henze2019

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Definition: Wahrscheinlichkeitsmaß

Sei eine Grundmenge.
Sei eine -Algebra über .
Sei eine Mengenfunktion.

Wir bezeichnen als Wahrscheinlichkeitsmaß auf , falls die Kolmogorov-Axiome gelten. Also:

• ,
• ,
• ist -additiv.

Ergebnisse und Ereignisse

Da , weißt also Ereignissen (Mengen von Ergebnissen) eine Wahrscheinlichkeit zu.

Anmerkung

Unterschied zur Maßdefinition

Der Unterschied zur Maßdefinition besteht darin, dass zusätzlich die Forderung

hinzugekommen ist. Die Forderung folgt aus der -Additivität. Siehe hierzu auch: Wahrscheinlichkeitsmaße und Leere Menge

Wahrscheinlichkeitsmaß vs. Wahrscheinlichkeitsverteilung

Sei eine Grundmenge.
Sei eine -Algebra über .
Sei ein Wahrscheinlichkeitsmaß.

Wir nennen nur dann Wahrscheinlichkeitsverteilung, wenn ein Bildmaß ist.

Das ist zum Beispiel immer der Fall, wenn wir uns das Wahrscheinlichkeitsmaß einer Zufallsvariablen anschauen.

Über die Kanonische Konstruktion eines Wahrscheinlichkeitsraums können wir uns jedoch immer eine solche Zufallsvariable konstruieren.