Definition - Erwartungswert

• Typen:
  • Erwartungswertvektor
  • Erwartungswert eines Schätzers
  • Empirisches Mittel
  • Erwarteter Nutzen einer Strategie
  • Bedingter Erwartungswert auf einer Sigma-Algebra
    • Bedingter Erwartungswert auf einer reellen Zufallsvariablen
      • Bedingter Erwartungswert auf einer diskreten Zufallsvariable
      • Bedingter Erwartungswert auf einer stetigen Zufallsvariable
• Beispiele:
  • Diskrete Erwartungswerte:
    • Erwartungswert der Binomialverteilung
    • Erwartungswert der geometrischen Verteilung
    • Erwartungswert der negativen Binomialverteilung
    • Erwartungswert der Poisson-Verteilung
  • Stetige Erwartungswerte:
    • Erwartungswert der stetigen Gleichverteilung
• Konstrukte:
  • Definition - Varianz
  • Kovarianz
• Generalisierungen:
  • k-tes Moment
  • Lineare Abbildung (mit Homogenität und Additivität)
  • Maß-Integral
  • Lagemaß
• Eigenschaften:
  • Erwartungswert ist homogen
  • Erwartungswert ist additiv
  • Erwartungswert ist monoton
  • Multiplikationsregel für den Erwartungswert
  • Erwartungswert erfüllt Dreiecksungleichung
  • Erwartungswert einer Indikatorfunktion
  • Erwartungswert einer Summe von Zufallsvariablen
  • Erwartungswert einer Indikatorsumme
  • Erwartungswert des bedingten Erwartungswertes auf Sigma-Algebra
  • Turmeigenschaft des bedingten Erwartungswertes
  • Schwaches Gesetz der großen Zahlen
  • Starkes Gesetz der großen Zahlen
  • Formel vom totalen Erwartungswert
  • Wichtige Ungleichungen
    • Abschätzung der Abweichung vom Erwartungswert mit der Tschebyschow-Ungleichung
    • Markov-Ungleichung
    • Cauchy-Schwarz-Ungleichung für Zufallsvariablen
    • Jensensche Ungleichung
    • Höldersche Ungleichung
    • Minkowski-Ungleichung
    • Hoeffding-Ungleichung
• Hinreichende Aussagen:
  • Konvergenz im Mittel impliziert Konvergenz des Erwartungswertes
  • Formel vom totalen Erwartungswert
  • Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariable durch Größer-Gleich
  • Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariable mit verketteter Funktion
  • Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariable mit verketteter Funktion
• Involvierte Definitionen:
  • Diskrete Zufallsvariable
  • Stetige Zufallsvariable
  • Abzählbare Menge
  • Wahrscheinlichkeitsmaß
  • Messbare numerische Funktion
  • Erweiterte Reelle Zahlen
  • Maß-Integral
  • siehe auch Median
• Veranstaltung: AlMa, EiS
• Referenz: @henze2019

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Definition: Erwartungswert (Diskreter Fall)

Sei eine diskrete Zufallsvariable.
Sei eine abzählbare Menge, sodass .

Als Erwartungswert von bezeichnen wir

falls gilt, dass

Andernfalls sagen wir, dass der Erwartungswert nicht existiert.

Und für -dimensionale diskrete Zufallsvektoren?

Für -dimensionale diskrete Zufallsvektoren benötigen wir eine (messbare) Funktion, die aus dem -dimensionalen Raum auf einen Skalar abbildet.

Sei diese messbare Funktion.
Dann gilt äquivalent:

Definition: Erwartungswert (Allgemeiner Fall)

Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Sei eine reelle Zufallsvariable.
Sei die Dichte von .
Sei die Verteilungsfunktion von .

Als Erwartungswert von bezeichnen wir

ß

falls gilt, dass

Andernfalls sagen wir, dass der Erwartungswert nicht existiert.

Anmerkung

Beispiel

Der Erwartungswert ist besonders bei Glücksspiele sehr anschaulich. Angenommen wir werfen einen Würfel. Bei gewinnen wir 50€. Bei allen anderen Zahlen verlieren wir 10€. Was ist der Erwartungswert dieses Spiels?

Erwartungswert: Konstante

Sei . Dann gilt:

Erwartungswert als Schwerpunkt

Bildlich gesprochen wird der Erwartungswert auch häufig als “Schwerpunkt einer Verteilung” bezeichnet.

Die folgende Abbildung aus @henze2019 illustriert den Sachverhalt:

Herleitungen

Darstellungsformel im diskreten Fall

Wir wollen zeigen, dass

Mit dem großen Umordnungssatz für Reihen gilt:

was zu zeigen war.

Transformationsformel (stetiger Fall)

Seien also:

• ein Wahrscheinlichkeitsraum.
• eine reelle Zufallsvariable.
• die Dichte von .

Da , die Verteilung von , ein Maß mit Dichte bezüglich dem Borel-Lebesgue-Maß ist, also

gilt mit dem Transformationssatz für Integrale:

Die -Messbare Abbildung , die im Transformationssatz für Integrale genutzt wird, ist hier also bloß die Identische Abbildung.

Da ein Maß mit Dichte bezüglich ist, folgt mit dem Satz über den Zusammenhang zwischen induziertem Integral und Quellintegral weiter:

was zu zeigen war.