Lemma - Turmeigenschaft des bedingten Erwartungswertes

• Involvierte Definitionen:
  • Bedingter Erwartungswert auf Sigma-Algebra
  • Erwartungswert
  • Sigma-Algebra
• Veranstaltung: MatheDS
• Referenz: @riedel2023

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Lemma: Turmeigenschaft des bedingten Erwartungswertes

Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Seien zwei Teil--Algebren.
Sei eine reelle Zufallsvariable mit .

Ist , so gilt mit der Turmeigenschaft, dass der bedingte Erwartungswert “dominiert”:

Beweis

Wir splitten den Beweis in zwei Teile:

1.

Nach Definition des bedingten Erwartungswertes und der Definition der Messbarkeit von Abbildungen gilt:

• ist eine -messbare ZV, also ,
• ist eine -messbare ZV, also .

Weiter gilt

• ist eine -messbare ZV, also .

Da , stellt nur einen “Zwischenschritt” in der Reduktion von auf die -messbare ZV dar.

2.

Da bereits eine -messbare ZV ist und , ist auch schon -messbar. Der Umfang wird damit durch gar nicht mehr verringert. Siehe hierzu auch das Lemma Bedingter Erwartungswert entspricht bei Messbarkeit der Zufallsvariable