Definition - Sigma-Algebra

• Beispiele:
  • Kleinstmögliche Sigma-Algebra
  • Größtmögliche Sigma-Algebra
  • Erzeugte Sigma-Algebra eines einelementigen Mengensystems
  • Filtration einer Sigma-Algebra
  • Sigma-Algebra der Tau-Vergangenheit
• Konstrukte:
  • Messraum
  • Erzeugte Sigma-Algebra
  • Erzeugte Sigma-Algebra einer messbaren Abbildung
  • Terminale Sigma-Algebra bzgl. einer Folge von Zufallsvariablen
  • Maßraum
  • Messbarkeit von Abbildungen zwischen Messräumen
  • Ereignis
• Generalisierungen:
  • Algebra
  • Dynkin-System
    • Jede Sigma-Algebra ist ein Dynkin-System
• Eigenschaften:
  • Sigma-Algebra ist gegenüber dem Durchschnitt abgeschlossen
  • Durchschnitt von Sigma-Algebren ist eine Sigma-Algebra
  • Vereinigung von Sigma-Algebren ist keine Sigma-Algebra
  • Spur einer -Algebra ist eine -Algebra
  • Teilmengen-Beziehung überträgt sich auf die erzeugte Sigma-Algebra
  • Die erzeugte Sigma-Algebra einer Sigma-Algebra ist die Sigma-Algebra selbst
  • Unabhängigkeit durchschnittsstabiler Mengensysteme überträgt sich auf deren erzeugte Sigma-Algebren
• Involvierte Definitionen:
  • Menge
  • Potenzmenge
  • Mengensystem
  • Komplement
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: @henze2019

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Definition: Sigma-Algebra

Sei eine Grundmenge.

Als Sigma-Algebra (oft auch -Algebra oder Ereignisfeld) über bezeichnen wir das Mengensystem , wenn folgende Eigenschaften erfüllt werden:

1. .
2. .
   (Wobei )
3. .

Anmerkung

oder ?

Häufig wird in der Definition der -Algebra als erste Eigenschaft verlangt, dass .

Diese Forderung ist äquivalent dazu, dass , denn

Bedeutung des

Das steht für die Möglichkeit, abzählbar unendlich viele Mengen bei Mengenoperationen (bspw. Vereinigung und Durchschnitt) zuzulassen. Dabei ist der Buchstabe “Sigma” eine Anspielung an “Summe”. Das typische Summenzeichen ist ja auch das große Sigma: .