Proposition - Sigma-Algebra ist gegenüber dem Durchschnitt abgeschlossen

• Bewiesen durch:
  • Regeln von De Morgan
  • Eigenschaften der Sigma-Algebra
• Involvierte Definitionen:
  • Sigma-Algebra
  • Durchschnitt von Mengen
  • Durchschnittsstabilität
  • Komplement
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: @henze2019

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Proposition: Sigma-Algebra ist gegenüber dem Durchschnitt abgeschlossen

Sei eine Grundmenge.
Sei eine -Algebra über .
Seien zwei Mengen aus der -Algebra.

Dann gilt:

Die -Algebra ist also abgeschlossen gegenüber der Bildung des Durchschnitts.

Anmerkung

Das gilt auch für abzählbar viele Mengen…

Für abzählbar viele Mengen gilt damit auch:

Beweis

Sei eine Grundmenge.
Sei eine -Algebra über .
Seien zwei Mengen aus der -Algebra.

Dann gilt nach der 2. Eigenschaft der -Algebra:

Mit der 3. und 2. Eigenschaft der -Algebra gilt:

Mit den Regeln von De Morgan gilt schließlich:

Damit gilt also .

Die -Algebra ist hiermit abgeschlossen gegenüber dem Durchschnitt, was zu zeigen war.